Зависимость событий понимается в вероятностном смысле, а не в функциональном. Это значит, что по появлению одного из зависимых событий нельзя однозначно судить о появлении другого. Вероятностная зависимость означает, что появление одного из зависимых событий только изменяет вероятность появления другого. Если вероятность при этом не изменяется, то события считаются независимыми.

Определение : Пусть - произвольное вероятностное пространство, - некоторые случайные события. Говорят, что событие А не зависит от события В , если его условная вероятность совпадает с безусловной вероятностью :

.

Если , то говорят, что событие А зависит от события В .

Понятие независимости симметрично, то есть, если событие А не зависит от события В ,то и событие В не зависит от события А . Действительно, пусть . Тогда . Поэтому говорят просто, что события А и В независимы.

Из правила умножения вероятностей вытекает следующее симметричное определение независимости событий.

Определение : События А и В, определенные на одном и том же вероятностном пространстве , называются независимыми , если

Если , то события А и В называются зависимыми .

Отметим, что данное определение справедливо и в случае, когда или .

Свойства независимых событий.

1. Если события А и В являются независимыми, то независимыми являются также следующие пары событий: .

▲ Докажем, например, независимость событий . Представим событие А в виде: . Поскольку события являются несовместными, то , а в силу независимости событий А и В получаем, что . Отсюда , что и означает независимость . ■

2. Если событие А не зависит от событий В 1 и В 2 , которые являются несовместными (), то событие А не зависит и от суммы .

▲ Действительно, используя аксиому аддитивности вероятности и независимость события А от событий В 1 и В 2 , имеем:

Связь между понятиями независимости и несовместности.

Пусть А и В - любые события, имеющие ненулевую вероятность: , так что . Если при этом события А и В являются несовместными (), то и поэтому равенство не может иметь место никогда. Таким образом, несовместные события являются зависимыми .

Когда рассматривают более двух событий одновременно, то попарная их независимость недостаточно характеризует связь между событиями всей группы. В этом случае вводится понятие независимости в совокупности.

Определение : События , определенные на одном и том же вероятностном пространстве , называются независимыми в совокупности , если для любого 2 £ m £ n и любой комбинации индексов справедливо равенство:

При m = 2 из независимости в совокупности следует попарная независимость событий. Обратное неверно.

Пример. (Бернштейн С.Н.)

Случайный эксперимент заключается в подбрасывании правильного четырехгранника (тетраэдра). Наблюдается грань, выпавшая книзу. Грани тетраэдра окрашены следующим образом: 1 грань - белая, 2 грань - чёрная,
3 грань - красная, 4 грань - содержит все цвета.

Рассмотрим события:

А = {Выпадение белого цвета}; B = {Выпадение черного цвета};

C = {Выпадение красного цвета}.

Тогда ;

Следовательно, события А , В и С являются попарно независимыми.

Однако, .

Поэтому события А , В и С независимыми в совокупности не являются.

На практике, как правило, независимость событий не устанавливают, проверяя ее по определению, а наоборот: считают события независимыми из каких-либо внешних соображений или с учетом обстоятельств случайного эксперимента, и используют независимость для нахождения вероятностей произведения событий.

Теорема (умножения вероятностей для независимых событий).

Если события ,определенные на одном и том же вероятностном пространстве , являются независимыми в совокупности, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей:

▲ Доказательство теоремы следует из определения независимости событий в совокупности или из общей теоремы умножения вероятностей с учетом того, что при этом

Пример 1(типовой пример на нахождение условных вероятностей, понятие независимости, теорему сложения вероятностей).

Электрическая схема состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятности отказов каждого из элементов соответственно равны .

1) Найти вероятность отказа схемы.

2) Известно, что схема отказала.

Какова вероятность того, что при этом отказал:

а) 1-й элемент; б) 3-й элемент?

Решение. Рассмотрим события = {Отказал k -й элемент}, и событие А = {Отказала схема}. Тогда событие А представляется в виде:

.

1) Поскольку события и несовместными не являются, то аксиома аддитивности вероятности Р3) неприменима и для нахождения вероятности следует использовать общую теорему сложения вероятностей, в соответствии с которой

Общая постановка задачи: известны вероятности некоторых событий, а вычислить нужно вероятности других событий, которые связаны с данными событиями. В этих задачах возникает необходимость в таких действиях над вероятностями, как сложение и умножение вероятностей.

Например, на охоте проиведены два выстрела. Событие A - попадание в утку с первого выстрела, событие B - попадание со второго выстрела. Тогда сумма событий A и B - попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов.

Задачи другого типа. Даны несколько событий, например, монета подбрасывается три раза. Требуется найти вероятность того, что или все три раза выпадет герб, или того, что герб выпадет хотя бы один раз. Это задача на умножение вероятностей.

Сложение вероятностей несовместных событий

Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность объединения или логической суммы случайных событий.

Сумму событий A и B обозначают A + B или A ∪ B . Суммой двух событий называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий. Это означает, что A + B – событие, которое наступает тогда и только тогда, когда при наблюдении произошло событие A или событие B , или одновременно A и B .

Если события A и B взаимно несовместны и их вероятности даны, то вероятность того, что в результате одного испытания произойдёт одно из этих событий, рассчитывают, используя сложение вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность того, что произойдёт одно из двух взаимно несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:

Например, на охоте произведены два выстрела. Событие А – попадание в утку с первого выстрела, событие В – попадание со второго выстрела, событие (А + В ) – попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов. Итак, если два события А и В – несовместные события, то А + В – наступление хотя бы одного из этих событий или двух событий.

Пример 1. В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик.

Решение. Примем, что событие А – «взят красный мячик», а событие В – «взят синий мячик». Тогда событие - «взят цветной (не белый) мячик». Найдём вероятность события А :

и события В :

События А и В – взаимно несовместные, так как если взят один мячик, то нельзя взять мячики разных цветов. Поэтому используем сложение вероятностей:

Теорема сложения вероятностей для нескольких несовместных событий. Если события составляют полное множество событий, то сумма их вероятностей равна 1:

Сумма вероятностей противоположных событий также равна 1:

Противоположные события образуют полное множество событий, а вероятность полного множества событий равна 1.

Вероятности противоположных событий обычно обозначают малыми буквами p и q . В частности,

из чего следуют следующие формулы вероятности противоположных событий:

Пример 2. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,15, во второй зоне – 0,23, в третьей зоне – 0,17. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели.

Решение: Найдём вероятность того, что стрелок попадёт в цель:

Найдём вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Сложение вероятностей взаимно совместных событий

Два случайных события называются совместными, если наступление одного события не исключает наступления второго события в том же самом наблюдении. Например, при бросании игральной кости событием А считается выпадение числа 4, а событием В – выпадение чётного числа. Поскольку число 4 является чётным числом, эти два события совместимы. В практике встречаются задачи по расчёту вероятностей наступления одного из взаимно совместных событий.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Вероятность того, что наступит одно из совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, из которой вычтена вероятность общего наступления обоих событий, то есть произведение вероятностей. Формула вероятностей совместных событий имеет следующий вид:

Поскольку события А и В совместимы, событие А + В наступает, если наступает одно из трёх возможных событий: или АВ . Согласно теореме сложения несовместных событий, вычисляем так:

Событие А наступит, если наступит одно из двух несовместных событий: или АВ . Однако вероятность наступления одного события из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей всех этих событий:

Аналогично:

Подставляя выражения (6) и (7) в выражение (5), получаем формулу вероятности для совместных событий:

При использовании формулы (8) следует учитывать, что события А и В могут быть:

• взаимно независимыми;
• взаимно зависимыми.

Формула вероятности для взаимно независимых событий:

Формула вероятности для взаимно зависимых событий:

Если события А и В несовместны, то их совпадение является невозможным случаем и, таким образом, P (AB ) = 0. Четвёртая формула вероятности для несовместных событий такова:

Пример 3. На автогонках при заезде на первой автомашине вероятность победить , при заезде на второй автомашине . Найти:

• вероятность того, что победят обе автомашины;
• вероятность того, что победит хотя бы одна автомашина;

1) Вероятность того, что победит первая автомашина, не зависит от результата второй автомашины, поэтому события А (победит первая автомашина) и В (победит вторая автомашина) – независимые события. Найдём вероятность того, что победят обе машины:

2) Найдём вероятность того, что победит одна из двух автомашин:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Решить задачу на сложение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Бросаются две монеты. Событие A - выпадение герба на первой монете. Событие B - выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события C = A + B .

Умножение вероятностей

Умножение вероятностей используют, когда следует вычислить вероятность логического произведения событий.

При этом случайные события должны быть независимыми. Два события называются взаимно независимыми, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления второго события.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий и вычисляется по формуле:

Пример 5. Монету бросают три раза подряд. Найти вероятность того, что все три раза выпадет герб.

Решение. Вероятность того, что при первом бросании монеты выпадет герб , во второй раз , в третий раз . Найдём вероятность того, что все три раза выпадет герб:

Решить задачи на умножение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча, после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трёх игр в коробке не останется неигранных мячей?

Пример 7. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что из букв получится слово "конец".

Пример 8. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.

Пример 9. Та же задача, что в примере 8, но каждая карта после вынимания возвращается в колоду.

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из взаимно независимых событий , можно вычислить путём вычитания из 1 произведения вероятностей противоположных событий , то есть по формуле.

Определение 1. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность появления события А зависит от того, произошло или не произошло событие В. Вероятность того, что произошло событие А при условии, что произошло событие В, будем обозначать и называть условной вероятностью события А при условии В.

Пример 1. В урне находится 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар (первое вынимание), а затем второй (второе вынимание). Событие В - появление белого шара при первом вынимании. Событие А - появление белого шара при втором вынимании.

Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет

Вероятность события Л при условии, что событие В не произошло (при первом вынимании появился черный шар), будет

Видим, что

Теорема 1. Вероятность совмещения двух событий равняется произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т. е.

Доказательство. Доказательство приведем для событий, которые сводятся к схеме урн (т. е. в случае, когда применимо классическое определение вероятности).

Пусть в урне шаров, при этом белых, черных. Пусть среди белых шаров шаров с отметкой «звездочка», остальные чисто белые (рис. 408).

Из урны вынимается один шар. Какова вероятность события вынуть белый шар с отметкой «звездочка»?

Пусть В - событие, состоящее в появлении (белого шара, А - событие, состоящее в появлении шара с отметкой «звездочка». Очевидно,

Вероятность появления белого шара со «звездочкой при условии, что появился белый шар, будет

Вероятность появления белого шара со «звездочкой» есть Р (А и В). Очевидно,

Подставляя в (5) левые части выражений (2), (3) и (4), получаем

Равенство (1) доказано.

Если рассматриваемые события не укладываются в классическую - схему, то формула (1) служит для определения условной вероятности. А именно, условная вероятность события А при условии осуществления события В опрёделяется с помощью

Замечание 1. Применим последнюю формулу к выражению :

В равенствах (1) и (6) левые части равны, так как это одна и та же вероятность, следовательно, равны и правые. Поэтому можем написать равенство

Пример 2. Для случая примера 1, приведенного в начале этого параграфа, имеем По формуле (1) получаем Вероятность Р(А и В) легко вычисляется и непосредственно.

Пример 3. Вероятность изготовления годного изделия данным станком равна 0,9. Вероятность появления изделия 1-го сорта среди годных изделии есть 0,8. Определить вероятность изготовления изделия 1-го сорта данным станком.

Решение. Событие В - изготовление годного изделия данным станком, событие А - появление изделия 1-го сорта. Здесь Подставляя в формулу (1), получаем искомую вероятность

Теорема 2. Если событие А может осуществиться только при выполнении одного из событий которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

Формулд (8) называется формулой полной вероятности. Доказательство. Событие А может произойти при выполнении любого из совмещенных событий

Следовательно, по теореме о сложение вероятностей получаем

Заменяя слагаемые правой части по формуле (1), получим равенство (8).

Пример 4. По цели произведено три последовательных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле при втором при третьем При одном попадании вероятность поражения цели при двух попаданиях , при трех попаданиях Определить вероятность пфаженйя цели при трех выстрелах (событие А).

Решение. Рассмотрим полную группу несовместных событий:

Было одно попадание;

Пусть вероятность события В не зависит от появления события А .

Определение. Событие В называют независимым от события А , если появление события А не изменяет вероятности события В , т.е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

Р А (В ) = Р (В ). (2.12)

Подставив (2.12) в соотношение (2.11), получим

Р (А )Р (В ) = Р (В )Р В (А ).

Р В (А ) = Р (А ),

т.е. условная вероятность события А в предположении, что наступило событие В , равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие А не зависит от события B .

Лемма (о взаимной независимости событий) : если событие В не зависит от события А , то и событие А не зависит от события В ; это означает, что свойство независимости событий взаимно .

Для независимых событий теорема умножения Р (АВ ) = Р (А ) Р А (В ) имеет вид

Р (АВ ) = Р (А ) Р (В ), (2.13)

т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Равенство (2.13) принимают в качестве определения независимых событий. Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятность появления другого.

Определение. Два события называют независимыми , если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми .

На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.

Пример . Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А ) равна 0,8, а вторым (событие В ) – 0,7.

Решение. События А и В независимые, поэтому, по теореме умножения, искомая вероятность

Р (АВ ) = Р (А )Р (В ) = 0,7 ×0,8 = 0,56.

Замечание 1. Если события А и В независимы, то независимы также события А и , и В , и . Действительно,

Следовательно,

, или .

, или .

т.е. события А и В независимы.

Независимость событий и В , и – следствие доказанного утверждения.

Понятие независиомости может быть распространено на случай n событий.

Определение. Несколько событий называют попарно независимыми , если каждые два из них независимы. Например, события А , В , С попарно независимы, если независимы события А и В , А и С , В и С .

Для того чтобы обобщить теорему умножения на несколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности.

Определение. Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если события А 1 , A 2 , А 3 независимы в совокупности, то независимы события А 1 и A 2 , А 1 и А 3 , A 2 и А 3 ; А 1 и A 2 А 3 , A 2 и А 1 А 3 , А 3 и А 1 A 2 . Из сказанного следует, что если события независимы в совокупности, то условная вероятность появления любого события из них, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие события из числа остальных, равна его безусловной вероятности.

Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости.

Поясним сказанное на примере. Пусть в урне имеется 4 шара, окрашенные: один – в красный цвет (А ), один – в синий цвет (В ), один – в черный цвет (С ) и один –во все эти три цвета (АВС ). Чему равна вероятность того, что извлеченный из урны шар имеет красный цвет?

Так как из четырех шаров два имеют красный цвет, то Р (А ) = 2/4 = 1/2. Рассуждая аналогично, найдем Р (В ) = 1/2, Р (С ) = 1/2. Допустим теперь, что взятый шар имеет синий цвет, т.е. событие В уже произошло. Изменится ли вероятность того, что извлеченный шар имеет красный цвет, т.е. изменится ли вероятность события А ? Из двух шаров, имеющих синий цвет, один шар имеет и красный цвет, поэтому вероятность события А по-прежнему равна 1/2. Другими словами, условная вероятность события А , вычисленная в предположении, что наступило событие В , равна его безусловной вероятности. Следовательно, события А и В независимы. Аналогично придем к выводу, что события А и С , В и С независимы. Итак, события А , В и С попарно независимы.

Независимы ли эти события в совокупности? Оказывается, нет. Действительно, пусть извлеченный шар имеет два цвета, например синий и черный. Чему равна вероятность того, что этот шар имеет и красный цвет? Лишь один шар окрашен во все три цвета, поэтому взятый шар имеет и красный цвет. Таким образом, допустив, что события В и С произошли, приходим к выводу, что событие А обязательно наступит. Следовательно, это событие достоверное и вероятность его равна единице. Другими словами, условная вероятность Р ВС (А )= 1 события А не равна его безусловной вероятности Р (А ) = 1/2. Итак, попарно независимые события А , В , С не являются независимыми в совокупности.

Приведем теперь следствие из теоремы умножения.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Доказательство. Рассмотрим три события: А , В и С . Совмещение событий А , В и С равносильно совмещению событий АВ и С , поэтому

Р (АВС ) = Р (АВ×С ).

Так как события А , В и С независимы в совокупности, то независимы, в частности, события АВ и С , а также А и В . По теореме умножения для двух независимых событий имеем:

Р (АВ×С ) = Р (АВ )Р (С ) и Р (АВ ) = Р (А )Р (В ).

Итак, окончательно получим

Р (АВС ) = Р (А )Р (В )Р (С ).

Для произвольного n доказательство проводится методом математической индукции.

Замечание. Если события А 1 , А 2 , ...,А n независимы в совокупности, то и противоположные им события также независимы в совокупности.

Пример. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.

Решение. Вероятность появления герба первой монеты (событие А )

Р (А ) = 1/2.

Вероятность появления герба второй монеты (событие В )

Р (В ) = 1/2.

События А и В независимые, поэтому искомая вероятность по теореме умножения равна

Р (АВ ) = Р (А )Р (В ) = 1/2 ×1/2 = 1/4.

Пример. Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение. Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие А ),

Р (А ) = 8/10 = 0,8.

Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие В ),

Р (В ) = 7/10 = 0,7.

Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие С ),

Р (С ) = 9/10 = 0,9.

Так как события А , В и С независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения) равна

Р (АВС ) = Р (А )Р (В )Р (С ) = 0,8×0,7×0,9 = 0,504.

Приведем пример совместного применения теорем сложения и умножения.

Пример. Вероятности появления каждого из трех независимых событий А 1 , А 2 , А 3 соответственно равны р 1 , р 2 , р 3 . Найти вероятность появления только одного из этих событий.

Решение . Заметим, что, например, появление только первого события А 1 равносильно появлению события (появилось первое и не появились второе и третье события). Введем обозначения:

B 1 – появилось только событие А 1 , т.е. ;

B 2 – появилось только событие А 2 , т.е. ;

B 3 – появилось только событие А 3 , т.е. .

Таким образом, чтобы найти вероятность появления только одного из событий А 1 , А 2 , А 3 , будем искать вероятность P (B 1 + B 2 + В 3) появления одного, безразлично какого из событий В 1 , В 2 , В 3 .

Так как события В 1 , В 2 , В 3 несовместны, то применима теорема сложения

P (B 1 + B 2 + В 3) = Р (В 1) + Р (В 2) + Р (В 3). (*)

Остается найти вероятности каждого из событий В 1 , В 2 , В 3 . События А 1 , А 2 , А 3 независимы, следовательно, независимы события , поэтому к ним применима теорема умножения

Аналогично,

Подставив эти вероятности в (*), найдем искомую вероятность появления только одного из событий А 1 , А 2 , А 3.

Зависимые и независимые случайные события.
Основные формулы сложения и умножения вероятностей

Понятия зависимости и независимости случайных событий. Условная вероятность. Формулы сложения и умножения вероятностей для зависимых и независимых случайных событий. Формула полной вероятности и формула Байеса.

Теоремы сложения вероятностей

Найдем вероятность суммы событий и (в предположении их совместности либо несовместности).

Теорема 2.1. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме их вероятностей:

Пример 1. Вероятность того, что в магазине будет продана пара мужской обуви 44-го размера, равна 0,12; 45-го - 0,04; 46-го и большего - 0,01. Найти вероятность того, что будет продана пара мужской обуви не меньше 44-го размера.

Решение. Искомое событие произойдет, если будет продана пара обуви 44-го размера (событие ) или 45-го (событие ), или не меньше 46-го (событие ), т. е. событие есть сумма событий . События , и несовместны. Поэтому согласно теореме о сумме вероятностей получаем

Пример 2. При условиях примера 1 найти вероятность того, что очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера.

Решение. События "очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера" и "будет продана пара обуви размера не меньше 44-го" противоположные. Поэтому по формуле (1.2) вероятность наступления искомого события

поскольку , как это было найдено в примере 1.

Теорема 2.1 сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. Использование ее для нахождения вероятности совместных событий может привести к неправильным, а иногда и абсурдным выводам, что наглядно видно на следующем примере. Пусть выполнение заказа в срок фирмой "Electra Ltd" оценивается вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что из трех заказов фирма выполнит в срок хотя бы какой-нибудь один? События, состоящие в том, что фирма выполнит в срок первый, второй, третий заказы обозначим соответственно . Если для отыскания искомой вероятности применить теорему 2.1 сложения вероятностей, то получим . Вероятность события оказалась больше единицы, что невозможно. Это объясняется тем, что события являются совместными. Действительно, выполнение в срок первого заказа не исключает выполнения в срок двух других.

Сформулируем теорему сложения вероятностей в случае двух совместных событий (будет учитываться вероятность их совместного появления).

Теорема 2.2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих двух событий без вероятности их совместного появления:

Зависимые и независимые события. Условная вероятность

Различают события зависимые и независимые. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не взаимосвязанные, то остановки этих линий являются независимыми событиями.

Пример 3. Монета брошена два раза. Вероятность появления "герба" в первом испытании (событие ) не зависит от появления или не появления "герба" во втором испытании (событие ). В свою очередь, вероятность появления "герба" во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Таким образом, события и независимые.

Несколько событий называются независимыми в совокупности , если любое из них не зависит от любого другого события и от любой комбинации остальных.

События называются зависимыми , если одно из них влияет на вероятность появления другого. Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая. Вероятность одного события , вычисленная в предположении осуществления другого события , называется условной вероятностью события и обозначается .

Условие независимости события от события записывают в виде , а условие его зависимости - в виде . Рассмотрим пример вычисления условной вероятности события.

Пример 4. В ящике находятся 5 резцов: два изношенных и три новых. Производится два последовательных извлечения резцов. Определить условную вероятность появления изношенного резца при втором извлечении при условии, что извлеченный в первый раз резец в ящик не возвращается.

Решение. Обозначим извлечение изношенного резца в первом случае, а - извлечение нового. Тогда . Поскольку извлеченный резец в ящик не возвращается, то изменяется соотношение между количествами изношенных и новых резцов. Следовательно, вероятность извлечения изношенного резца во втором случае зависит от того, какое событие осуществилось перед этим.

Обозначим событие, означающее извлечение изношенного резца во втором случае. Вероятности этого события могут быть такими:

Следовательно, вероятность события зависит от того, произошло или нет событие .

Формулы умножения вероятностей

Пусть события и независимые, причем вероятности этих событий известны. Найдем вероятность совмещения событий и .

Теорема 2.3. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Следствие 2.1. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Пример 5. Три ящика содержат по 10 деталей. В первом ящике - 8 стандартных деталей, во втором - 7, в третьем - 9. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение. Вероятность того, что из первого ящика взята стандартная деталь (событие ), . Вероятность того, что из второго ящика взята стандартная деталь (событие ), . Вероятность того, что из третьего ящика взята стандартная деталь (событие ), . Так как события , и независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения)

Пусть события и зависимые, причем вероятности и известны. Найдем вероятность произведения этих событий, т. е. вероятность того, что появится и событие , и событие .

Теорема 2.4. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Следствие 2.2. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились.

Пример 6. В урне находятся 5 белых шаров, 4 черных и 3 синих. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его в урну. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие ), при втором - черный (событие ) и при третьем - синий (событие ).

Решение. Вероятность появления белого шара при первом испытании . Вероятность появления черного шара при втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность . Вероятность появления синего шара при третьем испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, а при втором - черный, . Искомая вероятность

Формула полной вероятности

Теорема 2.5. Если событие наступает только при условии появления одного из событий , образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события :

При этом события называются гипотезами, а вероятности - априорными. Эта формула называется формулой полной вероятности.

Пример 7. На сборочный конвейер поступают детали с трех станков. Производительность станков не одинакова. На первом станке изготовляют 50% всех деталей, на втором - 30%, на третьем - 20%. Вероятность качественной сборки при использовании детали, изготовленной на первом, втором и третьем станке, соответственно 0,98, 0,95 и 0,8, Определить вероятность того, что узел, сходящий с конвейера, качественный.

Решение. Обозначим событие, означающее годность собранного узла; , и - события, означающие, что детали сделаны соответственно на первом, втором и третьем станке. Тогда

Искомая вероятность

Формула Байеса

Эта формула применяется при решении практических задач, когда событие , появляющееся совместно с каким-либо из событий , образующих полную группу событий, произошло и требуется провести количественную переоценку вероятностей гипотез . Априорные (до опыта) вероятности известны. Требуется вычислить апостериорные (после опыта) вероятности, т. е., по существу, нужно найти условные вероятности . Для гипотезы формула Байеса выглядит так.